Page 40 - 《含能之美》2019封面论文

412 段晓畅，孙杰，刘迎彬，常双君，赵龙，袁洪魏，唐维

图 3 拉伸与压缩载荷下的应力应变曲线构建流程
Fig.3 Construction process of stress‑strain curves under tension and compression load

系描述问题的认知实质上是结构风险函数的最优化。
i i
代 表 温 度、应变与应力， {( [T，ε ]，σ )，i = 1，2，...，n}，
在数据集导入后，引入 Hinge Loss 损失函数，惩罚因子
n
i
i
[T,ε ] ∈ R ,σ ∈ R；之后，利用拉格朗日乘子法将样本映 *
i
i
C，不敏感损失函数 ω 和松弛变量 ξ 和 ξ ，可得优化目
射至更高维度的特征空间并利用核函数求解，最终得
［22］
标，如式（2） ：
［21］
(
对应的应力应变关系式 。 1 2 l l
w
*
min (  ) + C ∑ ξ + ∑ ξ i) （2）
2 i = 1 i i = 1
式（2）得 到 的 目 标 函 数 实 质 上 为 一 凸 二 次 规 划
［23］
（convex quadratic programming）问题 。对于此问
题，可利用拉格朗日对偶性（给每一个约束加上一个拉
格朗日乘子的方式，定义拉格朗日函数），通过求解与
原问题等价的对偶问题得到原始问题的最优解。
* *
i
i
i
i
引入拉格朗日乘子 α ≥0，α ≥0，μ ≥0，μ ≥0，由拉格
［24］
朗日乘子法有 ：
图 4 17 个温度点下的拉伸压缩应力应变曲线 L(w，b，α，α ，ξ，ξ ，μ，μ ) = 1 w 2 n *
*
*
*
i
Fig.4 Tension‑compression stress‑strain curves at 17 temper‑ 2   + C ∑(ξ + ξ ) -
i = 1
ature points n n
*
*
∑ μ ξ - μ ξ +
i ∑
i
3.1 训练集构建 i = 1 i = 1
n
i)
∑ α ( f (x ) - y - ω - ξ +
利用 SVM 算法描述材料的应力应变关系，首先需 i i i
i = 1
建立训练数据集。数据集由所有待测温度下的数据组
n
x
α
∑ ( y - f ( ) - ω - ξ * )
*
成，含有温度、应变、应力 3 个指标。将温度、应变的数 i i
i = 1
据点作为输入数据，将应力的数据点作为输出数据，构
（3）
建训练数据集。由于所采集的 3 个指标间数值差距较 *
带入式（2），令 w，b，ξ，ξ 偏导为零，将结果带回，
大且量纲不同，在对应力应变关系描述前需对样本进
［25］
在满足 KKT 条件 后，便可得出所需的 w 与 b，进而得
行归一化处理，本研究中分别将温度 T、应变 ε 与应力 T
*
1
2
l
最优解 α = (α ，α ，⋯，α ) 。此时所建立的模型已可
σ 归一化至区间［1，2］。三者所用归一化公式相同，仅
解决线性样本的分类求解问题，但对于应力应变关系
以 T 为例：
T - T
i
T = min + 1 （1） 描述这一非线性回归问题，仍需引入核函数 K (x ，x )，
j
n
T max - T min
将所构建模型推广到非线性层面，并得最终决策函数，
式中，T 代表归一化后的数值，为无量纲数。T max 代表 如式（4）：
n
温度与应变中的最大值，T min 代表温度最小值，T 代表 n
)
f (x) = ∑(α - α K (x ，x ) + b （4）
*
i
i
i
j
本次所选数值，单位均为℃。 i = 1
3.2 应力应变关系式的理论推导 在本研究中，考虑到应力应变曲线明显的非线性
SVM 作为一种监督学习模型，其对于应力应变关 特征以及多个自变量的存在，选用了如式（5）所示的
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Chinese Journal of Energetic Materials，Vol.27, No.5, 2019（410-416） 含能材料