1 引言

高聚物粘结炸药(PBX)在武器中的应用越来越广泛, 其非冲击条件下安全性的研究也越来越迫切, 掌握其含损伤的动态力学响应机制^[1-2]是安全性研究的基础。受现有试验条件所限, 人们尚不能全面了解炸药材料微观结构的变形机制, 因此主要通过建立各种近似的本构模型来描述其响应规律。

唐明峰等^[3]针对一种以RDX为基的PBX炸药, 获得了不同应变率范围内的单轴压缩曲线, 分别针对准静态和动态情况, 建立了两种唯象损伤的粘弹性本构关系。张子敏^[4]等采用“朱-王-唐”^[5]粘弹性模型, 拟合了PBXN110炸药的应力-应变弹性段曲线。龚建良^[6]等建立了考虑内部界面脱湿对宏观力学行为影响的复合固体推进剂本构模型。在国外, 基于Dienes^[7]统计裂纹力学模型(SCRAM), 发展了多个本构模型^[8-10], 不仅可模拟炸药断裂破坏, 还可方便地耦合生热-反应过程, 已在炸药安全性研究方面展示了较好的应用前景。Iso-SCRAM^[8]和DCA^[9]等模型在材料弹性性能基础上耦合微裂纹的脆性损伤, 并根据材料受力状态采用不同的损伤模式。Visco-SCRAM^[10]模型采用5个MAXWELL单元的粘弹性模型串联微裂纹体, 其中包含了材料的粘弹性响应、统计断裂损伤以及热点起爆机理。总之, 国内外针对易产生损伤的PBX材料, 基于不同的力学理论建立了不同本构关系, 但考虑到PBX炸药多样性及动态力学响应复杂性, 后续在如何建立耦合细观损伤、热点起爆机制的动态本构关系方面仍有大量的工作需开展。

国外发展的微裂纹统计损伤模型, 其本构理论一般简化为在弹性或粘弹性基础上耦合脆性损伤, 研究重点在于复杂的损伤模型, 而对于材料的塑性或粘塑性行为未充分考虑。炸药材料力学性能试验^[11]表明, PBX炸药在外力作用下具有明显塑性性能, 不考虑塑性容易导致模拟的材料最高强度偏大、损伤加剧。同时考虑到冲击条件下多种热点生成机制, 如孔洞坍塌、剪切带、裂纹摩擦等, 主要是在炸药快速粘塑性变形或损伤断裂过程中积聚热量。因此, 建立PBX类炸药动态损伤本构模型时, 需充分考虑材料粘塑性变形和脆性损伤过程。

本研究以宏观粘塑性本构理论为基础, 引入了材料内部微裂纹扩展对于炸药损伤的影响, 建立了含裂纹扩展损伤的粘塑性本构方程, 用于描述PBX材料在不同应变率条件下的应力-应变关系。同时, 针对某PBX材料, 开展了单轴压缩应力-应变实验及数值模拟研究, 对比验证了模型的正确性。

2 含裂纹扩展损伤的粘塑性本构理论

含裂纹扩展损伤本构模型建立在以下假设前提下:

(1) 假定初始状态微裂纹是各向同性分布的, 即炸药材料呈各向同性;

(2) 炸药材料损伤过程中, 忽略微裂纹成核效应, 主要考虑初始微裂纹在外力作用下的损伤演化及扩展;

(3) 忽略微裂纹之间的相互作用。

材料应力率和应变率以球张量和偏张量的形式表示, 总的应力率可以表示为偏应力率和平均应力率之和:

$ {{\dot \sigma }_{ij}} = {{\dot S}_{ij}} + {{\dot \sigma }_m}{\delta _{ij}} $

(1)

$ {{\dot \sigma }_m} = \dot k{\varepsilon _{ii}} $

(2)

总的应变率可以表示偏应变率和平均应变率之和:

$ {{\dot \varepsilon }_{ij}} = {{\dot e}_{ij}} + {{\dot \varepsilon }_m}{\delta _{ij}} $

(3)

$ {{\dot \varepsilon }_m} = \frac{1}{3}{{\dot \varepsilon }_{ii}} $

(4)

式中, $\dot{\sigma }$_ij为总应力率, MPa·s^-1; ${\dot{S}}$_ij为偏应力率, MPa·s^-1; ${\dot{\sigma }}$_m为平均应力率, MPa·s^-1; k为体积模量, MPa; δ_ij为Kronecker符号, ${\dot{\varepsilon }}$_ij为总应变率, s^-1; ${\dot{e}}$_ij为偏应变率, s^-1; ${\dot{\varepsilon }}$_m为平均应变率, s^-1。

材料总的偏应变率${\dot{e}}$_ij为弹粘塑性应变率${\dot{e}}$_ij^vep和表征微裂纹损伤的开裂应变率${\dot{e}}$_ij^c之和:

$ {{\dot e}_{ij}} = \dot e_{ij}^{vep} + \dot e_{ij}^c $

(5)

开裂偏应变与偏应力之间的关系可表示为

$ e_{ij}^c = {\beta ^e}{c^3}{S_{ij}} $

(6)

式中, c为平均裂纹半径, β^e为与剪切模量G和初始裂纹分布N₀相关的一个参数, 其关系为:

$ 2G{\beta ^e} = A{N_0} = \left( {\frac{1}{{{a^3}}}} \right) $

(7)

式中, A为常数, a为初始缺陷尺寸, 开裂偏应变和裂纹半径之间的关系为:

$ 2Ge_{ij}^c = {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3}{S_{ij}} $

(8)

根据Visco-scram^[10]模型成果, 裂纹增长速率与应力强度因子相关, 当应力强度因子大于极限值时, 裂纹就会失稳扩展, 其扩展机制是动态失稳扩展机制; 当应力强度因子小于失稳的极限值时, 裂纹仍然会低速增长, 发生演化扩展, 这个过程由热激活耗散机制主导, 微裂纹尺寸演化扩展速度${\dot{c}}$具体表示为:

$ \dot c = {v_{\max }}{\left( {\frac{K}{{{K_1}}}} \right)^m}\;\;\;\;\;\;K < {K_0}\sqrt {1 + \frac{2}{m}} $

(9)

$ \dot c = {v_{\max }}\left( {1 - {{\left( {\frac{{{K_0}}}{K}} \right)}^2}} \right)\;\;\;\;\;\;\;K \ge {K_0}\sqrt {1 + \frac{2}{m}} $

(10)

$ {K_1} = {K_0}\sqrt {1 + \frac{2}{m}} \left( {1 + \frac{2}{m}} \right)\frac{1}{m} $

(11)

式中，K₀微裂纹体元中基体材料的断裂韧性, Pa·m^1/2; v_max微裂纹扩展最大速度, m·s^-1; m微裂纹扩展的速度系数, 取为10, K为含微裂纹的等效应力强度因子, ${{K}^{2}}=\frac{3}{2}\pi \cdot c\cdot {{S}_{ij}}{{S}_{ij}}, \rm{Pa}\cdot {{\rm{m}}^{\rm{1/2}}}$。材料损伤度D定义为:

$ D = \frac{{{{\left( {c/a} \right)}^3}}}{{1 + {{\left( {c/a} \right)}^3}}} $

(12)

材料弹粘塑性应变e_ij^vep服从如图 1所示的模型, 该模型由一个阻尼常数为η的阻尼器与一个屈服强度为Y的塑性单元并联以后, 与一个剪切模量为G的弹性体串联, 其偏应力张量可表示为:

$ {{\dot S}_{ij}} = 2G\dot e_{ij}^{vep},\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left\| S \right\| \le \sqrt {\frac{2}{3}} Y $

(13)

$ {{\dot S}_{ij}} + \frac{G}{\eta }\left( {1 - \sqrt {\frac{2}{3}} \frac{Y}{{\left\| S \right\|}}} \right){S_{ij}} = 2G\dot e_{ij}^{vep},\left\| S \right\| > \sqrt {\frac{2}{3}} Y $

(14)

$ G = {G_0}\left( {1 - D} \right) $

(15)

式中, G₀为未损伤时的剪切模量, ‖S‖为等效应力, 材料的屈服服从von Mises屈服法则^[12]:

$ {S_{ij}}{S_{ij}} - \frac{2}{3}{Y^2} = 0 $

(16)

材料在变形过程中总的塑性功表示为:

$ \frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}t}} = {S_{ij}}e_{ij}^{vp} = {S_{ij}}\left( {e_{ij}^{vp} - e_{ij}^e} \right) $

(17)

式中，e_ij^e为弹性应变。

3 PBX炸药力学性能实验 3.1 PBX炸药的单轴压缩实验

为验证建立的本构模型, 选取了典型浇注PBX炸药试件(简称PBX)开展了静动态单轴压缩实验及断裂性能实验。炸药试件由中物院化工材料研究所提供, 主要成份为64%RDX、20%Al粉、16%HTPB, 密度为1640 kg·m^-3, PBX属于高能晶体颗粒填充的混合炸药。

参考文献[13]的方法, 在分离式Hopkinson压杆(SHPB)装置上进行动态单轴压缩力学实验, 在材料试验机上开展了静态单轴压缩力学实验。图 2为实验获得准静态0.01 s^-1以及动态60, 320, 500 s^-1应变率下的PBX应力-应变曲线, 可看出在外力作用下, PBX炸药达到应力最高点以前, 具有粘塑性性能, 应力随应变的增大而非线性增大; 应力达到压缩强度(曲线上应力的最大值)后, 应力随应变的增大而降低, 表现出明显的脆性响应。同时, PBX炸药具有明显的应变率效应, 材料压缩强度随着加载应变率的增大而增大。

根据粘塑性本构理论^[12], 在公式(14)中, 假设恒定单轴压缩加载应变率, 可得到粘塑性应力σ解析解(18), 采用不同应变率${\dot{\varepsilon }}$下单轴压缩强度试验数据(σ, ε), 采用公式(18)先求得变量τ, 依据公式(19)求得阻尼系数η:

$ \sigma = 2G\tau \left( {1 + \nu } \right)\dot \varepsilon \left( {1 - {{\rm{e}}^{ - \frac{\varepsilon }{{\tau \dot \varepsilon }}}}} \right) $

(18)

$ \eta = \tau G\left( {1 - \frac{Y}{\sigma }} \right) $

(19)

因为320 s^-1应变率下的实验数据较全面地代表高应变率下炸药动态力学行为, 因此选取应变率320 s^-1下压缩强度数据进行计算, 求得η=0.00143 MPa·s, 其中所用到的泊松比ν=0.32、剪切模量G=200 MPa、炸药屈服强度Y=40 MPa取自准静态实验数据^[12-13]。

3.2 PBX的断裂实验

参考文献[13], 采用Hopkinson杆单次加载实验技术完成了PBX的断裂实验, 实验测量系统示意图见图 3。实验杆材料为LC4铝, 直径为20 mm, 入射杆长为2000 mm, 透射杆长为1000 mm。实验中应用入射波整形技术, 以保证试样两端的力平衡, p₁=p₂=p。在动态力平衡条件下可以由加载历史p(t)通过公式(20)计算得到应力强度因子历史, 加载峰值对应的即为应力强度因子K₀。

$ {K_0}\left( t \right) = \frac{{p\left( t \right)S}}{{B{R^{3/2}}}} \cdot Y\left( {\frac{a}{R}} \right) $

(20)

式中, p(t)为随时间变化的加载力, Y(a/R)为无量纲应力强度因子, R和B分别为试验件半径和厚度, 裂纹深度为a, S为支撑柱间的跨距, 具体见图 3。实验获得PBX炸药的断裂韧性K₀=8.5×10⁵ Pa·m^1/2。同时试验中采用高速摄影观测裂尖张开过程, 估算得到试样中的裂纹扩展速度V_max=360 m·s^-1。

PBX炸药这种粘塑性及脆性损伤响应的力学性能, 不仅与其组分的RDX等单质炸药以及粘结剂性能有关, 还受各组分含量及制备过程影响。RDX高能晶体颗粒属脆性材料, 粘接剂基体为粘塑性材料, PBX的力学性能受两种材料综合影响。

根据微裂纹脆性损伤统计理论^[7], 炸药试件制作过程中, 内部不可避免存在微裂纹等初始缺陷, 外载荷作用下初始微裂纹被激活并发生稳定扩展, 炸药宏观力学性能表现为非线性增加。随着裂纹进一步扩展, 裂纹扩展造成的损伤对炸药材料的性能影响越来越大, 最终使得炸药材料发生破坏。因此PBX炸药粘塑性及脆性损伤力学响应过程, 可采用在粘塑性本构模型上耦合裂纹扩展损伤来描述。

4 PBX炸药含微裂纹扩展损伤的粘塑性本构关系建立

利用上述含微裂纹扩展损伤的粘塑性本构方程编制了UVMAT(user-defined material mechanical behavior)加入到有限元软件ABAQUS/Explicit求解器^[14]中, ABAQUS/Explicit应用中心差分方法对运动方程进行显式时间积分, 应用一个增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。显示动力学方法主要包括以下步骤:

(1) 节点计算

动力学平衡方程:

$ {{\ddot u}_{\left( t \right)}} = \left( M \right) - 1\left( {{P_{\left( t \right)}} - {I_{\left( t \right)}}} \right) $

(21)

对时间显式积分:

$ {{\dot u}_{\left( {t + \frac{{\Delta t}}{2}} \right)}} = {{\dot u}_{\left( {t - \frac{{\Delta t}}{2}} \right)}} + \frac{{\left( {\Delta {t_{\left( {t + \Delta t} \right)}} + \Delta {t_{\left( t \right)}}} \right)}}{2}{{\ddot u}_t} $

(22)

$ {u_{\left( {t + \Delta t} \right)}} = {u_{\left( t \right)}} + \Delta {t_{\left( {t + \Delta t} \right)}}{{\dot u}_{\left( {t + \frac{{\Delta t}}{2}} \right)}} $

(23)

式中, u为位移, m; ${\dot{u}}$为速度, m·s^-1; ${\ddot{u}}$为加速度, m·s^-2; M为质量矩阵, kg; P为力矩阵, N。

(2) 单元计算

首先根据应变速率${\dot{\varepsilon }}$, 计算单元应变增量dε, 接着根据材料本构关系计算应力增量, 并更新材料单元应力, 最后集成节点内力I_(t+Δt) :

$ {\sigma _{\left( {t + \Delta t} \right)}} = f\left( {{\sigma _{\left( t \right)}},{\rm{d}}\varepsilon } \right) $

(24)

(3) 设置时间t为t+Δt, 返回步骤1。

在上述显示动力学计算步骤中, 将建立的含裂纹扩展损伤的粘塑性本构关系加入到式(24)中, 通过材料的应力状态判断材料属于弹性或粘塑性状态, 根据材料状态判断采用公式(13)或(14)进行单元偏应力更新, 同时根据偏应力大小计算单元开裂应变(公式(8)), 利用裂纹扩展方程(9)或(10)进行单元统计等效裂纹长度计算, 依据裂纹长度以及裂纹变化率计算损伤度D(公式(12)), 并更新材料力学性能参数。

将计算得到的单轴压缩应力应变关系, 与实验曲线进行对比, 结果如图 4所示。在应变率60~500 s^-1范围内, 计算所得曲线与试验曲线变化趋势较吻合, 说明粘塑性本构关系中引入微裂纹扩展损伤, 能够模拟炸药材料发生弹性、粘塑性、脆性破坏的变化过程, 模拟得到的PBX最大压缩强度随应变率增大而增大, 呈应变率增强效应。图 5为计算得到应变率500 s^-1下, PBX炸药内部微裂纹扩展尺寸c、损伤度D(见图 5a)以及单轴压缩应力(见图 5b)随应变的变化关系, 可看出在加载的初始阶段, 材料处于弹性变形阶段; 当单轴应力超过35 MPa即等效应力超过40 MPa时(对应图 5b中A点), 材料进入塑性阶段, 应力随应变非线性增加, 此过程裂纹扩展较小, 对材料性能影响不大; 当所受应力超过材料应力强度因子极限值后(对应图 5b中B点), 内部微裂纹扩展加速, 裂纹尺寸c和损伤度D快速增大, 当裂纹尺寸扩展到初始裂纹约30倍时(对应图 5b中C点), 材料进入损伤软化阶段, 应力随应变增加逐渐下降。

从图 4还可看出, 模拟曲线与实验数据未能完全吻合, 压缩强度以及压缩强度对应的应变与实验存在差距, 分析认为模型中采用一些简化处理, 与实际理论还有一定差别, 主要体现在: (1)由于PBX类非均质炸药组份多样, 微裂纹扩展损伤过程受多种因素影响, 呈复杂的各向异性, 具体细观损伤模式还属于本领域研究热点及难点, 模型中采用简化的裂纹扩展速度经验公式, 损伤度由裂纹尺寸c确定, 导致模拟的曲线应力强度超过最大值后裂纹扩展迅速增大、材料损伤剧烈; (2)研究表明剪切模量G、屈服强度Y、断裂强度因子K₀随应变率增大而增大明显, 模型中取为定值未考虑与应变率相关性。

5 结论

(1) PBX单轴压缩试验表明, 受高能晶体颗粒及粘接剂性能的综合影响, PBX表现出粘塑性及脆性损伤耦合的力学响应。PBX炸药具有明显的应变率效应, 材料压缩强度随着加载应变率的增大而增大。

(2) 采用微裂纹扩展表征炸药动态损伤演化, 并引入到宏观的粘塑性本构关系中, 建立了含细观损伤的炸药动态本构关系, 经将数值模拟结果与实验数据相比较, 可看出建立的模型可用来描述PBX炸药动态条件下力学性能变化过程。

(3) 非均质PBX类炸药动态损伤是一复杂的过程, 目前关于损伤度的定义主要考虑裂纹尺寸的变化, 后续还需进一步优化改进。