实现高效毁伤和满足钝感弹药标准是现代兵器发展对弹药的要求，为满足这一要求，研制高能不敏感PBX炸药成为重要的技术途径之一。由于炸药能量与感度之间存在矛盾，研制既高能又不敏感的PBX炸药难度较大，如何对炸药的能量和感度进行匹配设计，成为炸药工作者关注的热点之一。本研究在PBX炸药构效关系研究的基础上，探索匹配设计PBX炸药的能量、感度、力学等性能的优化设计方法。
近年来，优化设计方法在工业混合炸药配方设计方面得到了较好运用。如，唐健军[1-2]、陆明[3-5]、王海芳[6]等建立了铵油炸药、乳化炸药等工业炸药的线性约束优化设计数学模型，可以对工业混合炸药的爆热、氧平衡和价格进行优化匹配设计。这些模型没有考虑安全性、力学性能，而这恰恰是高能不敏感炸药配方设计不能忽视的问题，更是其难点和关键所在。为此，笔者基于文献数据挖掘，于2009年基本建立了以能量为目标函数、感度为约束函数的单目标非线性优化设计数学模型，能够对圆筒比动能和特性落高进行较好的匹配设计[7]。为更好地对混合炸药的能量、感度、力学性能等进行优化匹配设计，本文基于实验研究，探索建立多目标非线性优化设计数学模型。
2 高能不敏感PBX配方设计的一般数学模型混合炸药配方设计就是使设计的配方在满足一定性能指标的前提下，选择组分、确定其含量，并进行合理的结构设计。不同用途的炸药配方设计关注的性能不尽相同，如工业混合炸药配方设计主要关注爆热、氧平衡和成本等，而高能不敏感PBX配方设计不仅关注能量指标(如爆热、圆筒比动能、爆速、爆压等)，还要关注安全性指标和力学性能指标。由于炸药的能量、安全性、力学性能之间存在相互矛盾、相互制约的关系，如何进行合理的匹配设计，使设计的配方既达到较高的能量水平，又达到较高的安全水平或者较低的感度，并具有合适的力学性能，是高能不敏感PBX配方设计的难点和关键。从数学角度来看，高能不敏感PBX配方设计，属于以三大性能为目标，以组分为上下界、感度和能量指标为约束条件的多目标非线性优化问题，可在配方设计准则和构效关系研究的基础上，建立相应的数学模型，进行优化设计。
假设待设计的配方由n种物质构成，其含量为xi, i=1, 2, …n。如果关注待设计配方的能量、感度、力学、氧平衡等性能，并且存在性能-组成函数关系，那么，可利用多目标非线性规划对待设计配方的几大性能进行优化匹配设计，在某一合适的约束条件下，存在一个优化解。其数学模型如下：
| $ \min \left\{ {{P_m}\left( {{x_i}} \right)} \right\}\;\;\;\;\;m = 1, 2, \cdots k;i = 1, 2 \cdots n $ | (1) |
| $ s.t.\left\{ \begin{array}{l} {H_{50}}\left( {{x_i}} \right) \ge {H_g}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1, 2 \cdots n\\ {\rm{or}}\;\;\;\;{{\rm{G}}_{50}}\left( {{x_i}} \right) \le {G_g}\;\;\;\;\;\;\;i = 1, 2 \cdots n\;\\ {E_L} \le E\left( {{x_i}} \right) \le {E_H}\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1, 2 \cdots n\\ \sum {{x_i} = 100} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1, 2 \cdots n\\ {a_i} \le {x_i} \le {b_i}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;i = 1, 2 \cdots n \end{array} \right. $ | (2) |
式(1)为性能目标函数。Pm(xi)为第m种性能对组分含量xi的函数，如P1(xi)=-E(xi)为能量的相反数对组分含量xi的函数，P2(xi)=-H50(xi)为特性落高的相反数对组分含量xi的函数；P3(xi)=G50(xi)为50%爆炸概率下隔板厚度对组分含量xi的函数。
式(2)为约束条件。EL和EH分别为待设计配方的能量下限和上限，即能量水平；H50(xi)；G50(xi)分别为待设计配方的特性落高和冲击波感度对组分含量xi的函数关系；Hg和Gg分别为待设计配方的机械感度和冲击波感度的目标值；ai、bi分别为组分含量的下界和上界，一般由经验确定。
3 设计实例为证明非线性优化应用于高能不敏感PBX配方设计的可行性以及上述一般数学模型的正确性，下面针对由HMX、TATB、F2314和F2311四种组分构成的配方体系(设x1、x2、x3、x4分别表示四种组分的体积分数)，利用上述数学模型设计几种能量水平的高能不敏感PBX配方。
3.1 数学模型的建立假定目前只关注能量和感度进行优化设计，首先在构效关系研究的基础上，获得性能-组成函数关系，然后确定目标函数、约束条件，进而建立优化设计数学模型。
3.1.1 目标函数以能量、机械感度和冲击波感度为目标函数。
能量可用圆筒比动能、飞片比动能、猛度等表征，也可用爆热、爆速、爆压等爆轰性能表征，这里以圆筒比动能构建目标函数。对以HMX为主炸药的混合炸药的圆筒比动能可以由以下的线性关系式与添加剂的体积百分含量相关联[8]：
| $ E = {E_{{\rm{HMX}}}}(1-\sum {{S_i}{x_i}} ) $ | (3) |
式中，E为配方的圆筒比动能；EHMX为纯HMX的圆筒比动能，其值为1.752(圆筒壁膨胀到19 mm时)；Si为每种添加剂的特征能量衰减因子；xi为每种添加剂的体积分数。
根据式(3)和配方体系中各组分的能量衰减因子Si(表 1)和体积分数xi，得到能量目标函数：
| $ \begin{array}{l} {P_1}\left( {{x_i}} \right) =-E\left( {{x_i}} \right) = 0.006132{x_2} + 0.01752{x_3} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;0.01752{x_4}-1.752 \end{array} $ | (4) |
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表 1 配方中几种组分的能量衰减因子 Tab.1 Characteristic energy decrement from pure HMX for ingredients in compositions |
为建立感度目标函数，必须先获得感度-组成函数。但是，迄今为止感度的估算仍然是世界难题，尽管不少学者试图寻找感度与炸药组成结构的定量关系，但往往事与愿违，仅获得一些结构类似的炸药的相关规律[9-10]。不过，在混合炸药配方设计时，可以通过对特定体系配方感度进行研究，获得预估配方感度的经验公式[11-12]，这对于配方设计有着重要的参考价值。为此，固定粘结剂含量总和为4%(质量分数)，只变化HMX/TATB的比例设计系列模型配方，制备造型粉，并压制成相对密度为98.5%的Φ20 mm×20 mm药柱。按GJB772A-1997方法601.3撞击感度12型工具测得各配方在5 kg落锤下的H50，按照GJB772A-1997方法605.1隔板试验方法测得各配方的G50。实验结果与TATB含量的关系见图 1和图 2。据此拟合分别得到H50和G50与TATB质量分数xi的函数关系：
| $ {{H}_{50}}=31.24+1.23{{e}^{{{x}^{'}}_{2}/20.73}} $ | (5) |
| $ {{G}_{50}}=\frac{28.50{{x}^{'}}_{2}}{39.62+{{x}^{'}}_{2}}+\frac{14.72{{x}^{'}}_{2}}{{{x}^{'}}_{2}-2.13}-0.26{{x}^{'}}_{2} $ | (6) |
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图 1 HMX基PBX炸药特性落高与TATB含量的关系 Fig.1 H50versus TATB content of HMX based PBX formulations |
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图 2 HMX基PBX炸药G50与TATB含量的关系 Fig.2 G50 versus TATB content of HMX based PBX formulations |
从而得到机械感度和冲击波感度的目标函数分别为：
| $ \begin{array}{l} {P_2}\left( {{x_i}} \right) =-{H_{50}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; =-31.24-1.23{{\rm{e}}^{\frac{{1.938{x_2}}}{{^{39.49{x_1} + 20.17{x_2} + 41.87{x_3} + 38.35{x_4}}}}}} \end{array} $ | (7) |
| $ \begin{array}{l} {P_3}\left( {{x_i}} \right) = \frac{{5523.3{x_2}}}{{75.48{x_1} + 270.58{x_2} + 80.03{x_3} + 73.3{x_4}}} + \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{2804.3{x_2}}}{{189.61{x_1}-4.06{x_2}-4.3{x_3}-3.94{x_4}}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{50.4{x_2}}}{{1.905{x_1} + 1.938{x_2} + 2.02{x_3} + 1.85{x_4}}} \end{array} $ | (8) |
前已述及，高能不敏感PBX炸药的配方设计必须考虑安全性问题，因此以感度-组成函数作为非线性约束条件之一。感度-组成函数既可以选择式(5)所示的函数关系，也可以选择式(6)所示的函数关系，这里选择前者。
为使设计的配方保持较高的能量水平，同时以能量水平和组分的上下界含量作为线性约束条件。
3.1.3 数学模型根据上述分析，参照式(1)和式(2)，建立HMX/TATB/F2314/F2311体系配方设计的非线性约束最优化数学模型(见式(9)和式(10))。
3.2 优化设计结果利用MATLAB(V6.1)软件中优化工具中的fminimax函数对上述数学模型求解，获得在不同能量水平和特性落高设计值的约束下，配方组成的最优解，结果列于表 2。
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表 2 不同设计指标约束下配方组成的最优解及其性能 Tab.2 The optimal solutions of compositions and their properties subjected to different G |
从表 2可知，利用基于实验建立的非线性优化设计数学模型，不仅可以设计出配方的组分配比，还可以给出配方的能量、感度等性能。此外，从表 2还注意到如下现象：(1)设计配方的能量基本等于能量水平的下限，这是因为炸药的能量与感度存在矛盾，要使配方的安全性也达到优化，能量在限定范围内越低越好；(2)组分含量尤其是粘结剂含量的下限对设计结果有重要影响，在同一能量水平下，设计配方粘结剂的含量等于约束条件中粘结剂含量的下限值，这是因为设计模型是以能量最大化为目标之一，而粘结剂属于惰性组分(含能粘结剂除外)，对能量几乎没贡献(或者贡献很小)，因此其含量越少，配方的能量越高。
3.3 设计验证为验证上述设计结果，从表 2中选取代号为PBX-3、PBX-4、PBX-7和PBX-10的设计配方进行实验验证，为方便实验，个别组分根据设计结果作了适当微调，实验结果见表 3。
| $ \min \left\{ \begin{array}{l} {P_1}\left( {{x_i}} \right) = - E\left( {{x_i}} \right) = 0.006132{x_2} + 0.01752{x_3} + 0.01752{x_4} - 1.752\\ {P_2}\left( {{x_i}} \right) = - {H_{50}}\left( {{x_2}} \right) = - 31.24 - 1.23{{\rm{e}}^{\frac{{193.8{x_2}}}{{39.49{x_1} + 40.17{x_2} + 41.87{x_3} + 38.35{x_4}}}}}\\ {P_3}\left( {{x_i}} \right) = \frac{{5523.3{x_2}}}{{75.48{x_1} + 270.58{x_2} + 80.03{x_3} + 73.3{x_4}}} + \frac{{2804.3{x_2}}}{{189.61{x_1} - 4.06{x_2} - 4.3{x_3} - 3.94{x_4}}} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\frac{{50.4{x_2}}}{{1.905{x_1} + 1.938{x_2} + 2.02{x_3} + 1.85{x_4}}} \end{array} \right\} $ | (9) |
| $ s.t.\left\{ \begin{array}{l} {H_g} - 31.24 - 1.23{{\rm{e}}^{\frac{{193.8{x_2}}}{{39.49{x_1} + 40.17{x_2} + 41.87{x_3} + 38.35{x_4}}}}} \le 0,{\rm{ }}i = 1,2, \ldots n - 1\\ {E_L} \le 1.752 - 0.006132{x_2} - 0.01752{x_3} - 0.01752{x_4} \le {E_H},{\rm{ }}i = 1,2, \ldots n\\ \sum {{x_i} = 100,{\rm{ }}} \;\;\;\;i = 1,2, \ldots n\\ 0 \le {x_1} \le 97\\ 0 \le {x_2} \le 97\\ 1.5 \le {x_3} \le 10\\ 1.5 \le {x_4} \le 10 \end{array} \right. $ | (10) |
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表 3 几种PBX配方性能设计与实验结果比较 Tab.3 Comparison of design results of performances with its experiment results for several PBX formulations |
从表 3所列结果看出，设计值和实验值符合得较好。设计模型给出的能量预估值与实测值的偏差在5%以内，给出的冲击波感度预估值与实测值的偏差在6%以内，给出的特性落高预估值与实测结果在同一水平，说明该模型能够设计出满足要求的PBX配方。
4 结论对HMX/TATB/F2314/F2311配方体系，采用本文建立的多目标非线性优化设计模型设计的配方的圆筒比动能、特性落高、冲击波感度均与实验结果一致。表明在获得特定配方体系的性能-组成函数的基础上，可以建立多目标非线性优化设计数学模型，实现能量、感度等性能的优化匹配设计，得到符合要求的高能不敏感PBX炸药配方。这说明本文提出的高能不敏感PBX配方设计的一般数学模型具有可行性，从而改变混合炸药配方设计的“配方调整←→性能验证”的传统循环模式，实现高能不敏感PBX炸药配方的理论设计。
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